미적분 예제

$y = {(x^{3} - 4)}^{4} \sin (3 x^{3})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} - 4)}^{4} \sin (3 x^{3}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = {(x^{3} - 4)}^{4}$ , $g (x) = \sin (3 x^{3})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{3})] + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x^{3}$ 로 바꿉니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x^{3}$ 로 바꿉니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} (\cos (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (3 (3 x^{2})) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.3.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

단계 3.4

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{3} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{3} - 4$ 로 바꿉니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

단계 3.4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{3} - 4$ 로 바꿉니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

단계 3.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

단계 3.5.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]))$

단계 3.5.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + 0))$

단계 3.5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2}))$

단계 3.5.4.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2})$

단계 3.5.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$