미적분 예제

$4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

단계 2.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{4 x^{4}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

단계 3.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

단계 3.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

단계 3.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

단계 3.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5})$

단계 3.8

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) x^{- 5}$

단계 3.9

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$16 x^{3} + \frac{4}{4} x^{- 5}$

단계 3.10

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$16 x^{3} + \frac{4 x^{- 5}}{4}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

단계 3.12

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.1

공약수로 약분합니다.

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

단계 3.12.2

수식을 다시 씁니다.

$16 x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$