미적분 예제

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2

$\sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\sec^{2} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 6

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 7

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 8

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 9

간단히 합니다.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

단계 10

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 10.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - 1 + u^{2} d u$

단계 11

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$- u + C + \int u^{2} d u$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 14

간단히 합니다.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 15

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$u$ 를 모두 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

단계 15.2

$t$ 를 모두 $\arctan (x)$ 로 바꿉니다.

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

단계 16

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$