미적분 예제

$x^{3} \cdot e^{x}$

단계 1

$x^{3} \cdot e^{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x} d x$

단계 4

$u = x^{3}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

단계 5

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

단계 6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

단계 7

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

단계 8

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

단계 9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

단계 10

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

단계 11

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

단계 12

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ 을 $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$