미적분 예제

$y = \frac{1 - \cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

단계 1

$f (x) = 1 - \cos (4 x)$ , $g (x) = \sin (4 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (4 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\sin (4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (4 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ 입니다.

$\frac{\sin (4 x) (- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin (4 x) (- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 4

곱합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (4 x) (1 (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 4.2

$\sin (4 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (4 x) (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 5

$\sin (4 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 6

$\sin (4 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 8.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 8.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \cdot 1) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 8.4

식을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (4 x) \cdot 4 - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 8.4.2

$\sin^{2} (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 9

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 9.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 9.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 10

미분합니다.

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단계 10.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 10.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 10.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \cdot 1}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 10.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- \cos (4 x))) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cdot 1 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.3.1.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.1.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos (4 x) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.1.3

$4 \cos (4 x) \cos (4 x)$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.1.3.1

$\cos (4 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.1.3.2

$\cos (4 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 {\cos (4 x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.2

$4 \cos^{2} (4 x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.3

$4 \sin^{2} (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.4

$4 \cos^{2} (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.5

$4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x) + \cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.3.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.4

$4 - 4 \cos (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.4.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.4.2

$- 4 \cos (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1) + 4 (- \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 11.4.3

$4 (1) + 4 (- \cos (4 x))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1 - \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$