미적분 예제

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = x^{3} + 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 3 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

단계 2.1.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 3 y$ 로 바꿉니다.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 2.2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ 의 각 항을 $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ 의 각 항을 $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ 로 나눕니다.

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

단계 5.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

단계 5.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

단계 5.1.2.2

${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

단계 5.1.2.2.2

$3 x^{2} + 3 y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

단계 5.3

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

단계 5.3.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3 x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

단계 5.3.3.2.2

$- 3 x^{2}$ 와 $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

단계 5.3.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

단계 5.3.3.2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.2.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

단계 5.3.3.2.4.2

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

단계 5.3.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

단계 5.3.3.4

$\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.3.4.1

$\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

단계 5.3.3.4.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$