미적분 예제

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x y$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.4

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2

항을 묶습니다.

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단계 2.5.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 y y'$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4 x y'$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.4

$- 4 x y'$ 와 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4 y$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.7

$- 4 y$ 와 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

단계 3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2

$y'$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.5.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

단계 5.2.1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

단계 5.2.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.2.1

방정식의 양변에 $4 y$ 를 더합니다.

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

단계 5.2.2.2

방정식의 양변에 $4 y x^{2}$ 를 더합니다.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

단계 5.2.2.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.3.1

$- 4 x y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3.2

$- 4 x^{3} y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3.3

$2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3.4

$2 y x^{2} y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3.5

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3.6

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.3.7

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.4

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 5.2.4.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.5

인수분해합니다.

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단계 5.2.5.1

최대공약수 $- 1 - x^{2}$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

단계 5.2.6

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ 의 각 항을 $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.6.1

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ 의 각 항을 $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.2.2

$- 1 - x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.2.3

$2 x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1.1

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1.1.1

$4 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1.1.2.1

$2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1.2.1

$4 y x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1.2.2.1

$2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 5.2.6.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$