미적분 예제

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \ln (5 x^{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (5 x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\frac{1}{5 x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.3.1

$5 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

$5$ 와 $\frac{1}{5 x}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.6

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.6.2

$\frac{2}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.6.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.6.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

단계 1.4.8

$\ln (5 x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

단계 1.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \ln (5 x^{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.5

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.6

$10$ 와 $\frac{1}{5 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.7

$\frac{10}{5 x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.8

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

$10 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.2.1

$5 x^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.9

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.10

$2$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{4}{x} + 0$

단계 2.3.2

$\frac{4}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- x^{- 2})$

단계 3.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{- 2}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{x^{2}}$

단계 3.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$