미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

단계 3

$2 x^{2} + 5$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

단계 3.2

피제수 $2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

단계 3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

단계 3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{2} + 0 + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

단계 3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

단계 3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 7.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 8

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$