미적분 예제

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 1.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 1.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

단계 2

$\tan^{4} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{5}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

단계 4.2

${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (u_{1})$ 를 $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ 을 $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

단계 8.2

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

단계 8.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$