미적분 예제

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$

단계 1

$x^{3}$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 1.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 0 + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

단계 1.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 6.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 7.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$