미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

단계 7

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 7.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 7.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

단계 8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

단계 11.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$