미적분 예제

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 1.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

단계 1.3.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (2 x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

단계 2.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.3.7

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$