미적분 예제

$y = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

단계 2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin^{4} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ 입니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

단계 3.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 에서 $4 \cos (x) \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 에서 $4 \cos (x) \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

단계 4.1.2

$- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 에서 $4 \cos (x) \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

단계 4.1.3

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ 에서 $4 \cos (x) \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

단계 4.2

$- \cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

단계 4.3

$- \sin^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

단계 4.4

$- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

단계 4.5

항을 다시 배열합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

단계 4.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

단계 4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

단계 4.8

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 \cos (x) \sin (x)$