미적분 예제

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2} \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ 입니다.

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

단계 3.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

단계 3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$