미적분 예제

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = e^{2 x}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.2

$(x - 3) e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.7.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.7.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.3.2

$- 6 e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.5

$2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.5.1

$2 e^{2 x} x$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.5.2

$- 7 e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.4.5.3

$e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2

$h (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

단계 2.3.2

$e^{2 x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$e^{2 x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{2 x} = 0$

단계 2.3.2.2

$e^{2 x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

단계 2.3.2.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.3.2.2.3

$e^{2 x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.3.3

$2 x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2 x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 7 = 0$

단계 2.3.3.2

$2 x - 7 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$2 x = 7$

단계 2.3.3.2.2

$2 x = 7$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$2 x = 7$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

단계 2.3.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{7}{2}$

단계 2.3.4

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{7}{2}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \frac{7}{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{7}{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

단계 4.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

단계 4.1.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 4.1.2.2.2

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

단계 4.1.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

단계 4.1.2.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.4.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

단계 4.1.2.2.4.2

$7$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

단계 4.1.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{7} \cdot 2$

단계 4.1.2.4

$e^{7}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{7}$

단계 4.2

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

단계 4.2.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

단계 5