미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

단계 1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

단계 2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

단계 3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다시 씁니다.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

단계 3.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

단계 3.3

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

단계 3.5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 3.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 3.5.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 3.5.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.5.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - t$

단계 3.5.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

단계 3.5.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

단계 3.6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

단계 3.7.2

$\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

단계 3.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

단계 3.9

극한값을 계산합니다.

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단계 3.9.1

식을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1.1

$- t$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

단계 3.9.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

단계 3.9.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

단계 3.9.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 3.10

지수 $- t$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- t}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 3.11

극한값을 계산합니다.

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단계 3.11.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

단계 3.11.2

답을 간단히 합니다.

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단계 3.11.2.1

$0$ 에서 $1 \cdot 1$ 을 뺍니다.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

단계 3.11.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.11.2.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

단계 3.11.2.2.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

단계 3.11.2.2.3

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.2.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

단계 3.11.2.2.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$