미적분 예제

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

단계 1

해당 적분은 부분적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (u - 2) u^{4} d u$

단계 3

$(u - 2) u^{4}$ 을 곱합니다.

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

단계 4

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$u$ 에 $u^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

단계 4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

단계 4.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

단계 7

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

단계 9.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$