미적분 예제

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

단계 1

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x$

단계 4

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $C$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

단계 4.1.2

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x^{2} (x + 1)$ 입니다.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.4

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.1.2

$A (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.4

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.4.1

$B (x^{2} (x + 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.4.2.5

$B (x (x + 1))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.6

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.9

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.9.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 4.1.5.9.2

$(C) (x^{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

단계 4.1.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

단계 4.1.6.2

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

단계 4.1.6.3

$B x$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

단계 4.1.6.4

$A x$ 를 옮깁니다.

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

단계 4.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = B + C$

단계 4.2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 4.2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A$

단계 4.2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

단계 4.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

단계 4.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

단계 4.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

단계 4.3.3

$0 = 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$1 + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$0 = B + C$

단계 4.3.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

단계 4.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$0 = B + C$ 의 $B$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

$0 = (- 1) + C$

$B = - 1$

$A = 1$

단계 4.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

단계 4.3.5

$0 = - 1 + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$- 1 + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

단계 4.3.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

단계 4.3.6

연립방정식을 풉니다.

$C = 1 B = - 1 A = 1$

단계 4.3.7

모든 해를 나열합니다.

$C = 1, B = - 1, A = 1$

단계 4.4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

단계 4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 9

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 10

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 10.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 10.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 10.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

단계 11

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

단계 12

간단히 합니다.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$