미적분 예제

$\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$ 을(를) ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = {(3 x - 2)}^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 7

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 8

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.6

식을 간단히 합니다.

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단계 9.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 9.7

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + 0)$

단계 9.8

항을 간단히 합니다.

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단계 9.8.1

$6 (3 x - 2)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2))$

단계 9.8.2

$6$ 와 $\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

단계 9.8.3

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})} (3 x - 2)$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.1

${(3 x - 2)}^{2}$ 을 $(3 x - 2) (3 x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{((3 x - 2) (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x - 2) (3 x - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 11.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.1.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.1.5

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.1.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.1.3.2

$- 6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2

$9 x^{2} - 12 x + 4 - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 11.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.2

$9 x^{2} - 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3

$3 x - 2$ 에 $\frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x - 2) \cdot 3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.4

$3 x - 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 (3 x - 2)}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$