미적분 예제

$\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$

단계 1

$70$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$ 의 미분은 $70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$ 입니다.

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(3 t^{2} + 8)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

${({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 3.3

${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 4

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = 3 t^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 t^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $3 t^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 (3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 5.2

${(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ 에서 $3 t^{2} + 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ 에서 $3 t^{2} + 8$ 를 인수분해합니다.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 5.2.2

$- 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ 에서 $3 t^{2} + 8$ 를 인수분해합니다.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 5.2.3

$(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))$ 에서 $3 t^{2} + 8$ 를 인수분해합니다.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

${(3 t^{2} + 8)}^{4}$ 에서 $3 t^{2} + 8$ 를 인수분해합니다.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 7

합의 법칙에 의해 $3 t^{2} + 8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ 가 됩니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 8

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 11

$8$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 12

식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$6 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 12.2

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 13

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 14

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{2}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 17

$3 t^{2}$ 에서 $12 t^{2}$ 을 뺍니다.

$70 \frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 18

$70$ 와 $\frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 19.2.1

$- 9$ 에 $70$ 을 곱합니다.

$\frac{- 630 t^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.2.2

$70$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 630 t^{2} + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.3

$- 630 t^{2} + 560$ 에서 $70$ 를 인수분해합니다.

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단계 19.3.1

$- 630 t^{2}$ 에서 $70$ 를 인수분해합니다.

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.3.2

$560$ 에서 $70$ 를 인수분해합니다.

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.3.3

$70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)$ 에서 $70$ 를 인수분해합니다.

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.4

$- 9 t^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{70 (- (9 t^{2}) + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.5

$8$ 을 $- 1 (- 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{70 (- (9 t^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.6

$- (9 t^{2}) - 1 (- 8)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{70 (- (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.7

$- (9 t^{2} - 8)$ 을 $- 1 (9 t^{2} - 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{70 (- 1 (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

단계 19.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{70 (9 t^{2} - 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$