미적분 예제

$2 \sin^{4} (2 x) - 3 \sin^{3} (4 x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 \sin^{4} (2 x) - 3 \sin^{3} (4 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin^{4} (2 x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sin (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.3.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.7

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (2 \cdot \cos (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.8

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$2 (8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 2.9

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \sin^{3} (4 x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (4 x)]$ 입니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (4 x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (4 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\sin (4 x)$ 로 바꿉니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

단계 3.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $\sin (4 x)$ 로 바꿉니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

단계 3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

단계 3.3.2

$\sin (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{4})$ 입니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

단계 3.3.3

$u_{4}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

단계 3.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)))$

단계 3.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) \cdot 4))$

단계 3.7

$\cos (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (4 \cdot \cos (4 x)))$

단계 3.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (12 \sin^{2} (4 x) \cos (4 x))$

단계 3.9

$12$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 36 \sin^{2} (4 x) \cos (4 x)$