미적분 예제

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

단계 1

$x$ 가 $2$ 의 왼쪽에서 한없이 가까워질 때 극한 $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ 찾기

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단계 1.1

극한을 좌극한으로 바꿉니다.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

단계 1.2

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

단계 1.3

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

단계 1.4

극한을 지수로 옮깁니다.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

단계 1.5

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

단계 1.6

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

단계 1.7

$a$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

단계 1.8

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $3 a$ 의 극한을 구합니다.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

단계 1.9

$x$ 가 있는 모든 곳에 $2$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.9.1

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

단계 1.9.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

단계 1.10

답을 간단히 합니다.

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단계 1.10.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.10.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

단계 1.10.1.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

단계 1.10.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

단계 1.10.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

단계 1.10.1.5

$a$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 + 2 a - 3 a$

단계 1.10.2

$2 a$ 에서 $3 a$ 을 뺍니다.

$4 - a$

단계 2

$2$ 에서 $x^{3} + a x^{2} + 5$ 값을 구합니다.

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단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

단계 2.2

값을 구합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

단계 2.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 + a \cdot 4 + 5$

단계 2.2.1.3

$a$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$8 + 4 a + 5$

단계 2.2.2

$8$ 를 $5$ 에 더합니다.

$4 a + 13$

단계 3

$x$ 이 왼쪽에서 $2$ 에 수렴할 때 $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ 의 극한이 $x = 2$ 에서의 함수 값과 같으므로 함수는 $x = 2$ 에서 연속입니다.

불연속임

단계 4