미적분 예제

$\int \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 1

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$e^{x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

단계 1.2

${(e^{x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

단계 1.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

단계 1.2.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\int x e^{- x} d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

단계 4.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

단계 5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

단계 7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

단계 8

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ 을 $- x e^{- x} - e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$