미적분 예제

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

단계 1

$44$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $44$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 4 \tan (t)$ 라고 하면 $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $4 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$4 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.2

$16 \tan^{2} (t) + 16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$16 \tan^{2} (t)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.2.2

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.2.3

$16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.4

$16 \sec^{2} (t)$ 을 ${(4 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$4 \sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ 에서 $4 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

단계 3.2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ 에서 $4 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

단계 3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

단계 3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

단계 3.2.2

$\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

단계 3.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$4 \tan (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

단계 3.2.3.2

$4 (\tan (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

단계 3.2.3.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

단계 4

$\frac{1}{16}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{16}$ 와 $44$ 을 묶습니다.

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

단계 5.2

$44$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sec (x)$ 을 $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

단계 6.2

삼각함수의 역수 관계를 적용합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

단계 6.3.2

조합합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

단계 6.3.3

$\csc (t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

단계 6.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1

$\frac{1}{\cot (t)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

단계 6.3.4.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

단계 6.3.5

$\cot (t)$ 와 $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

단계 6.3.6

공약수를 소거하여 수식 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.6.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

단계 6.3.6.2

${\cot (t)}^{2}$ 에서 $\cot (t)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

단계 6.3.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

단계 6.3.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

단계 6.3.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

단계 7

$- \csc (t)$ 의 도함수는 $\csc (t) \cot (t)$ 이므로, $\csc (t) \cot (t)$ 의 적분값은 $- \csc (t)$ 이 됩니다.

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

단계 8.2

$\frac{11}{4}$ 와 $\csc (t)$ 을 묶습니다.

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

단계 9

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{x}{4})$ 로 바꿉니다.

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

평면에 $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (\frac{x}{4})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \frac{x}{4})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ 는 $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ 입니다.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

단계 10.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.3

$\frac{x}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.7

$\frac{16 + x^{2}}{16}$ 을 ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.7.1

$16 + x^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.7.2

$16$ 에서 완전제곱인 $4^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.7.3

분수 $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.9

$\frac{1}{4}$ 와 $\sqrt{16 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

단계 10.1.10

조합합니다.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

단계 10.1.11

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.11.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

단계 10.1.11.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

단계 10.2

$11$ 와 $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

단계 10.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

단계 10.4

조합합니다.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

단계 10.5

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

단계 10.6

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$