미적분 예제

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 4

$- \cot (x)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (x)$ 이므로, $\csc^{2} (x)$ 의 적분값은 $- \cot (x)$ 이 됩니다.

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 6

먼저 $u_{2} = \csc (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = \csc (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$\csc (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

단계 6.1.2

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.3

미분합니다.

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단계 6.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

단계 6.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1.3.4.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

단계 6.1.3.4.2

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

단계 9.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

단계 9.2.3

$- 4$ 와 $\frac{u_{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

단계 9.2.4

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.4.1

$- 4 u_{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

단계 9.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

단계 9.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

단계 9.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

단계 9.2.4.2.4

$- 2 u_{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

단계 10

$u_{2}$ 를 모두 $\csc (2 x)$ 로 바꿉니다.

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$