미적분 예제

$p (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x - 3} + 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - 3}$ 을(를) ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.2

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.4

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.12

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.13

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.14

$\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.16

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.17

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

단계 1.1.3.2

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$p (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4 \sqrt{{(x - 3)}^{1}}}$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- \frac{1}{4 \sqrt{x - 3}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{4 \sqrt{x - 3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$4 \sqrt{x - 3} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(4 \sqrt{x - 3})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - 3}$ 을(를) ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1

${(4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1.1

$4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4^{2} {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$16 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$16 {(x - 3)}^{1} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$16 (x - 3) = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$16 x + 16 \cdot - 3 = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.6

$16$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$16 x - 48 = 0^{2}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$16 x - 48 = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.3.1

방정식의 양변에 $48$ 를 더합니다.

$16 x = 48$

단계 3.3.3.2

$16 x = 48$ 의 각 항을 $16$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.2.1

$16 x = 48$ 의 각 항을 $16$ 로 나눕니다.

$\frac{16 x}{16} = \frac{48}{16}$

단계 3.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{16 x}{16} = \frac{48}{16}$

단계 3.3.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{48}{16}$

단계 3.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1

$48$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 3.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x - 3}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x - 3 < 0$

단계 3.5

부등식 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x < 3$

단계 3.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 3$

$(- \infty, 3]$

$x \leq 3$

$(- \infty, 3]$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3} + 1$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(3) - 3} + 1$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0} + 1$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^{2}} + 1$

단계 4.1.2.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 1$

단계 4.1.2.1.4

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.1.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.4.2

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + 1$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(3, 1)$

단계 5