미적분 예제

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

단계 1

먼저 $u = x - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (1 - 2 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - 2 x$

단계 1.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 x + 1$

단계 1.1.5

항을 다시 배열합니다.

$1 - 2 x$

단계 1.2

$u = x - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 - 0$

단계 1.3.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 0$

단계 1.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = x - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

단계 1.5.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 2 - 4$

단계 1.5.2

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$- 2$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{4} u^{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{4}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.3

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.3.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

단계 3.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

단계 3.2.5

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

단계 3.2.6

$0$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$4 + 0$

단계 3.2.7

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 4