미적분 예제

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 1.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 1.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

단계 1.4.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

단계 1.4.4.2

$x - 2 \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

단계 1.4.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

단계 1.4.4.2.3

$- 2 \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

단계 1.4.4.2.4

$x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

단계 1.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

단계 1.6

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = 1 - \ln (x^{2})$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $1 - \ln (x^{2})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x^{2})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.2

$x^{3}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.2.2.4

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.4.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 2.9

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

단계 2.10

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

단계 2.10.2

$- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

단계 2.10.2.2

$- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

단계 2.10.2.3

$x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

단계 2.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

단계 2.11.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

단계 2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

단계 2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

단계 2.12.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

단계 2.12.2.1.2

$- 3 (- \ln (x^{2}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

단계 2.12.2.1.2.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (x^{2})$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

단계 2.12.2.1.3

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

단계 2.12.2.1.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

단계 2.12.2.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

단계 2.12.3

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

단계 2.12.4

$\ln (x^{6})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

단계 2.12.5

$- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

단계 2.12.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 4.1.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 4.1.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.1.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

단계 4.1.4.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

단계 4.1.4.4.2

$x - 2 \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

단계 4.1.4.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

단계 4.1.4.4.2.3

$- 2 \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

단계 4.1.4.4.2.4

$x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

단계 4.1.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 4.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 4.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

단계 4.1.6

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 입니다.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

단계 5.3.2

$- \ln (x^{2}) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- \ln (x^{2}) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

$\ln (x^{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\ln (x^{2}) = 1$

단계 5.3.3

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

단계 5.3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2}) = 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{1} = x^{2}$

단계 5.3.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$x^{2} = e^{1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} = e$

단계 5.3.5.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

단계 5.3.5.3

간단히 합니다.

$x = \pm \sqrt{e}$

단계 5.3.5.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{e}$

단계 5.3.5.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{e}$

단계 5.3.5.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 6.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 6.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x^{2})$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x^{2} \leq 0$

단계 6.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

단계 6.4.2

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | \leq \sqrt{0}$

단계 6.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

$\sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

단계 6.4.2.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | \leq | 0 |$

단계 6.4.2.2.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$| x | \leq 0$

단계 6.4.3

$| x | \leq 0$ 을(를) 구간으로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x \geq 0$

단계 6.4.3.2

$x$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x \leq 0$

단계 6.4.3.3

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x < 0$

단계 6.4.3.4

$x$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- x \leq 0$

단계 6.4.3.5

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

단계 6.4.4

$x \leq 0$ 와 $x \geq 0$ 의 교점을 구합니다.

$x = 0$

단계 6.4.5

$x < 0$ 일 때 $- x \leq 0$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.5.1

$- x \leq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.5.1.1

$- x \leq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

단계 6.4.5.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.5.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

단계 6.4.5.1.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{0}{- 1}$

단계 6.4.5.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.5.1.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \geq 0$

단계 6.4.5.2

$x \geq 0$ 와 $x < 0$ 의 교점을 구합니다.

해 없음

단계 6.4.6

해의 합집합을 구합니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = \sqrt{e}$

단계 8

$x = \sqrt{e}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

${\sqrt{e}}^{6}$ 을 $e^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e}$ 을(를) $e^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.1.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.2

로그 공식을 이용해 지수에서 $3$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.1.6

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

단계 9.2

${\sqrt{e}}^{4}$ 을 $e^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e}$ 을(를) $e^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

단계 9.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

단계 9.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

단계 9.2.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

단계 9.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

단계 9.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

단계 9.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

단계 9.2.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{2}{e^{2}}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = \sqrt{e}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \sqrt{e}$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = \sqrt{e}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\sqrt{e}$ 을 대입합니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

${\sqrt{e}}^{2}$ 을 $e$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e}$ 을(를) $e^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 11.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

단계 11.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

단계 11.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

단계 11.2.1.5

간단히 합니다.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

단계 11.2.2

최종 답은 $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ 입니다.

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

단계 12

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ 에 대한 극값입니다.

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ 은 극댓값임

단계 13