미적분 예제

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 4 y^{2} - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 y^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2.4

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

단계 3.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $8 y y'$ 를 더합니다.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

단계 5.2

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.3

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$6 y^{2} y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.3.2

$2 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.3.3

$8 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.3.4

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.3.5

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4

인수분해합니다.

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단계 5.4.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 5.4.1.2.1

$4 y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.2.2

$4$ 를 $1$ + $3$ 로 다시 씁니다.

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.2.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.1.4

최대공약수 $3 y + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

단계 5.5

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ 의 각 항을 $2 (3 y + 1) (y + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ 의 각 항을 $2 (3 y + 1) (y + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.2.2

$3 y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.2.3

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

단계 5.5.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$