미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 5

먼저 $u_{1} = 6 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{1} = 6 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$6 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

단계 5.1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 5.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 6

$\cos (u_{1})$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 7

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 8.2

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 9

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{1})$ 입니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

단계 10

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

단계 11

먼저 $u_{2} = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 11.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 11.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

단계 12

$\sin (u_{2})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

단계 13

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{1}{4}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 14.2

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 14.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 14.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 14.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 14.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 15

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

단계 16.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

단계 16.2.2

$\cos (u_{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

단계 17

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$u_{1}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

단계 17.2

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$