미적분 예제

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cot (1 - \sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cot (1 - \sin (x))$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

단계 2

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 1 - \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 - \sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

단계 2.2

$\cot (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{2})$ 입니다.

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 - \sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 에 더합니다.

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.6

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

단계 5.2

$\csc (1 - \sin (x))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

단계 5.3

$\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

단계 5.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

단계 5.5

$2$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

단계 5.6

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

단계 5.7

$\cot (1 - \sin (x))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

단계 5.8

조합합니다.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

단계 5.9

지수를 더하여 $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ 에 $\sin (1 - \sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 5.9.1

$\sin^{2} (1 - \sin (x))$ 에 $\sin (1 - \sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 5.9.1.1

$\sin (1 - \sin (x))$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

단계 5.9.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

단계 5.9.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

단계 5.10

$\sin^{3} (1 - \sin (x))$ 에서 $\sin (1 - \sin (x))$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

단계 5.11

분수를 나눕니다.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

단계 5.12

$\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

단계 5.13

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

단계 5.14

간단히 합니다.

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단계 5.14.1

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

단계 5.14.2

$\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ 을 $\csc (1 - \sin (x))$ 로 변환합니다.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.15

$\sin^{2} (1 - \sin (x))$ 에서 $\sin (1 - \sin (x))$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.16

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.17

$\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ 을 $\cot (1 - \sin (x))$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.18

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.19

$\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ 을 $\csc (1 - \sin (x))$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.20

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

단계 5.21

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ 을 곱합니다.

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단계 5.21.1

$\csc (1 - \sin (x))$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

단계 5.21.2

$\csc (1 - \sin (x))$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

단계 5.21.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

단계 5.21.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$