미적분 예제

$f (x) = 3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$15 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + 0$

단계 1.5.2

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{4}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + 0$

단계 2.4.2

$60 x^{3} - 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6