미적분 예제

$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{x - 3}]$

단계 2

$f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3

합의 법칙에 의해 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.3

$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 10

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 12

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 13.2

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 14

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 15

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 16

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 18

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 19

식을 간단히 합니다.

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단계 19.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 19.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.2.1

$u_{2} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{- \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4 u_{2} + 3}{2 u_{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.2

$u_{2}$ 를 모두 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{- \frac{2 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.2.3.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 20.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 20.2.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{1} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.2

간단히 합니다.

$\frac{- \frac{2 (x + 1) - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{2 x + 2 \cdot 1 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 x + 2 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.5

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- \frac{x + 2 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.2.3.6

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.3

항을 묶습니다.

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단계 20.3.1

$\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 20.3.2

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 에 $\frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 20.3.3

${(x - 3)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.4

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2}}$