미적분 예제

$2^{5 x - 3 x^{2}}$

단계 1

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = 5 x - 3 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x - 3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [5 x - 3 x^{2}]$

단계 1.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x - 3 x^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $5 x - 3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x - 3 x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 x - 3 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 가 됩니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

단계 2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

단계 2.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

단계 2.5

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 3 (2 x))$

단계 2.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 6 x)$

단계 2.7.2

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 6 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2^{5 x - 3 x^{2}} (5 - 6 x) \ln (2)$