미적분 예제

$\sqrt{x e^{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x e^{x}}$ 을(를) ${(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 8

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 10.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x e^{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x} + e^{x})$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.1.2

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.2

$x$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} e^{x} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.3

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.4

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{x e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.5.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.5.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.6

$x^{\frac{1}{2}} e^{x}$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.7.1

$2 e^{\frac{x}{2}}$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.8

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.9

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.10

${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.10.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.10.2

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} e^{x}$

단계 11.3.11

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

단계 11.3.12

$e^{x}$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

단계 11.3.13

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.13.1

$2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 11.3.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 11.3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.14

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.15

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$