미적분 예제

$y = \sin^{2} (\sin (π x))$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (\sin (π x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (\sin (π x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (\sin (π x))$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \sin (π x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (π x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

단계 2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (π x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])$

단계 3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])$

단계 3.3

$u_{3}$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \cdot 1)$

단계 4.3

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x) \sin (\sin (π x))$

단계 5.2

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$ 와 $\sin (\sin (π x))$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x))$

단계 5.3

괄호를 옮깁니다.

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x))) \cos (π x)$

단계 5.4

괄호를 옮깁니다.

$\sin (\sin (π x)) (2 π) \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$

단계 5.5

$\sin (\sin (π x)) (2 π)$ 와 $\cos (\sin (π x))$ 을 다시 정렬합니다.

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) (2 π)) \cos (π x)$

단계 5.6

괄호를 표시합니다.

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) \cdot 2) π \cos (π x)$

단계 5.7

$\cos (\sin (π x))$ 와 $\sin (\sin (π x)) \cdot 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (\sin (π x)) \cdot 2 \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

단계 5.8

$\sin (\sin (π x))$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

단계 5.9

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$

단계 5.10

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$π \sin (2 \sin (π x)) \cos (π x)$