미적분 예제

$y^{3} + 2 x = x^{2} - 2 + y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 2 x) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 + y^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y^{3} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 y^{2} y' + 2 \cdot 1$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' + 2$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.1.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 0 + 2 y y'$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 2 y y'$

단계 3.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 y y' + 2 x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 y^{2} y' + 2 = 2 y y' + 2 x$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 y y'$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' + 2 - 2 y y' = 2 x$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' - 2 y y' = 2 x - 2$

단계 5.3

$3 y^{2} y' - 2 y y'$ 에서 $y y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$3 y^{2} y'$ 에서 $y y'$ 를 인수분해합니다.

$y y' (3 y) - 2 y y' = 2 x - 2$

단계 5.3.2

$- 2 y y'$ 에서 $y y'$ 를 인수분해합니다.

$y y' (3 y) + y y' \cdot - 2 = 2 x - 2$

단계 5.3.3

$y y' (3 y) + y y' \cdot - 2$ 에서 $y y'$ 를 인수분해합니다.

$y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$

단계 5.4

$y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ 의 각 항을 $y (3 y - 2)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ 의 각 항을 $y (3 y - 2)$ 로 나눕니다.

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

단계 5.4.2.2

$3 y - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

단계 5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$