미적분 예제

${(1 + e^{x})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 1 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $1 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

단계 4.3.2

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

단계 4.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

단계 4.3.2.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$