미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = x^{3} + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = x^{3} + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x^{3} + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 2.1.5

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 2.2

$u = x^{3} + 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 + 2$

단계 2.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 3$

단계 2.4

$u = x^{3} + 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = t^{3} + 2$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

단계 3.2

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 와 $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$t^{3} + 2$ , $3$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

단계 8.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

단계 8.2.3

$- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

단계 8.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

단계 8.2.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

단계 8.2.6

$\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

단계 8.2.7

$\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

단계 8.2.8

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

단계 9.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

단계 9.3

$- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

단계 9.4

$- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ 을 $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

단계 9.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

단계 10

극한값을 계산합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

단계 10.2

$\frac{1}{9}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

단계 10.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.4

$3$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{t^{3} + 2}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.7

극한값을 계산합니다.

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단계 10.7.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

단계 10.7.2

답을 간단히 합니다.

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단계 10.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.7.2.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

단계 10.7.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

단계 10.7.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

단계 10.7.2.3

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 10.7.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{9})$

단계 10.7.2.3.2

$\frac{1}{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{9}$

소수 형태:

$0.\overline{1}$