미적분 예제

$y = \ln (x + y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

단계 3.4.2

$1 + y'$ 에 $\frac{1}{x + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y'}{x + y}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 $x + y$ 을 곱합니다.

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$x + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

단계 5.2.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' x + y' y = 1 + y'$

단계 5.2.2.1.2

$1$ 와 $y'$ 을 다시 정렬합니다.

$y' x + y' y = y' + 1$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $y'$ 를 뺍니다.

$y' x + y' y - y' = 1$

단계 5.3.2

$y' x + y' y - y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

단계 5.3.2.2

$y' y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

단계 5.3.2.3

$- y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

단계 5.3.2.4

$y' (x) + y' (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

단계 5.3.2.5

$y' (x + y) + y' \cdot - 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x + y - 1) = 1$

단계 5.3.3

$y' (x + y - 1) = 1$ 의 각 항을 $x + y - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y' (x + y - 1) = 1$ 의 각 항을 $x + y - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$x + y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

단계 5.3.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$