미적분 예제

$y x^{y - 1}$

단계 1

$f (y) = y$ , $g (y) = x^{y - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2

$f = x$ , $g = y - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$y - 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.3.2

$0$ 에 $x^{y - 2}$ 을 곱합니다.

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ 에 더합니다.

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.6

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.7.2

$x^{y - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

단계 3.9

$x^{y - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

단계 4.2

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$