미적분 예제

$y = 4 \arcsin (\frac{x}{2})$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \arcsin (\frac{x}{2})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$

단계 2

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.2.1

$2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot 1$

단계 3.5

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

단계 4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$