미적분 예제

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

단계 1

$\frac{9}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{9}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 3 x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$3 x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 2.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 2.2

$u = 3 x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 3 - 2$

단계 2.3.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = 3 x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 18 - 2$

단계 2.5.2

$18$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 16$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

단계 3.2

$\sqrt[4]{u}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{9}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 5.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 5.1.3

$9$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.3.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 5.1.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.3.2.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 5.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 5.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

단계 5.2.2

$u^{\frac{1}{4}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

단계 5.2.3

${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

단계 5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$16$ , $1$ 일 때, $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$16$ 을 $2^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.5

$\frac{4}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.6

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

단계 7.2.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

단계 7.2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

단계 7.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

단계 7.2.10

$32$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

단계 7.2.11

$\frac{3}{4}$ 에 $\frac{28}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

단계 7.2.12

$3$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

단계 7.2.13

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{84}{12}$

단계 7.2.14

$84$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.14.1

$84$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

단계 7.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.14.2.1

$12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

단계 7.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

단계 7.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7}{1}$

단계 7.2.14.2.4

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7$

단계 8