미적분 예제

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

단계 1

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 5

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 10

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 11

$\cos (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 13

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{1})$ 입니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \cos^{2} (x) d x$

단계 14

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \cos^{2} (x) d x$

단계 15

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

단계 17

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

단계 18

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

단계 19

먼저 $u_{2} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$u_{2} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 19.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 19.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 19.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 19.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 20

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 21

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 22

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 23

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 24

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 24.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

단계 25

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

단계 25.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 25.3

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 25.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.4.1

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

단계 25.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 25.5

$\sin (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 25.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 25.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 25.8

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 25.8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 26

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

단계 27

답은 함수 $f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$