미적분 예제

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 4

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$\frac{u}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.1.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{2}{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.1.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.1.4

$\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.1.5

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.3.2

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.2.1

$u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.3.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.4.1

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.4.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 5.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

단계 7

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

단계 8

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 8.1

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

단계 8.2

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

단계 8.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

단계 10.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

단계 10.2

간단히 합니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

단계 10.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$