미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

단계 1

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

단계 1.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 5) + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.4

$x$ 와 $- 5$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.8.2

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.8.3

$- 5 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.2.9

최고차항 계수가 양수인 짝수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

단계 2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 13 \cdot 3}$

단계 2.1.3.1.2

$13$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 39}$

단계 2.1.3.2

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.2

$f (x) = x + 2$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.7

$x + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.8

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.10

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.12

$x - 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.13

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.14

$2$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

단계 2.3.15

$13$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $13 (x + 3)$ 의 미분은 $13 \frac{d}{d x} [x + 3]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.16

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

단계 2.3.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

단계 2.3.18

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + 0)}$

단계 2.3.19

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \cdot 1}$

단계 2.3.20

$13$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13}$

단계 3

분수 $\frac{2 x - 3}{13}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{13} + \frac{- 3}{13}$

단계 4

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$- \infty$