미적분 예제

$\frac{1}{x (x + 1)}$

단계 1

$\frac{1}{x (x + 1)}$ 을 ${(x (x + 1))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x (x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x (x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x (x + 1)$ 로 바꿉니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

단계 4.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

단계 4.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

단계 5.2

$x (x + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

단계 5.3

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.7

$- 2 x - 1$ 에 $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.8

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.9

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.10

$- (2 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.11

$- (2 x + 1)$ 을 $- 1 (2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$