미적분 예제

$\ln (x^{2} + y^{2} + 1)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + y^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0)$

단계 2.6

분수를 통분합니다.

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단계 2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x)$

단계 2.6.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1} x$

단계 2.6.3

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}$