미적분 예제

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

단계 1

삼각함수 항등식 적용하기

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

단계 1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

단계 2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ 을 $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

단계 2.2

$\cot (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

단계 3

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

단계 4

좌극한 값을 살펴 봅니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

단계 5

$x$ 이 왼쪽에서 $0$ 에 접근할 때 함수 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

단계 6

$x$ 값이 $0$ 에 접근하면서 함수값이 $0$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $0$ 의 왼쪽에서 접근할 때 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 의 극한은 $0$ 입니다.

$0$

단계 7

우극한 값을 살펴 봅니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

단계 8

$x$ 이 오른쪽에서 $0$ 에 접근할 때 함수 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

단계 9

$x$ 값이 $0$ 에 접근하면서 함수값이 $0$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $0$ 의 오른쪽에서 접근할 때 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 의 극한은 $0$ 입니다.

$e^{0}$

단계 10

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$